r30 - 09 Dec 2007 - 00:40:05 - Anton OrlovYou are here: TWiki >  Refaldevel Web > CyberneticFoundationOfMathematics
Валентин Фёдорович Турчин, автор языка Рефал, использовал его при описании своего подхода к основаниям математики, который он назвал Кибернетическими Основаниями.

В рамках этого подхода развивается метатеория? математики, которая позволяет конструктивно интерпретировать формализм классической теории множеств, опираясь на понятие потенциальной, но не актуальной бесконечности.

Из работы Валентина Фёдоровича "A Constructive Interpretation of the Full Set Theory", напечатанной в The Journal of Symbolic Logic, Volume 52, Number 1, March 1987:

Наша метатеория основана на следующих двух идеях. Во-первых, мы определяем семантику математического языка, используя кибернетическую концепцию знания. В соответствии с этой концепцией, кибернетическая система (в частности, человек) обладает каким-либо знанием, если у неё есть некие модели реальности. С точки зрения Кибернетических Оснований математика рассматривается как искусство конструирования лингвистических моделей реальности. Анализ концепции модели показывает, что модель есть в сущности генератор предсказаний. Мы формализуем предсказание как высказывание, гласящее, что данный процесс конечен. Будем называть утверждение содержательным в том и только в том случае, когда оно может быть проинтерпретировано как генератор предсказаний.

Вторая идея, на которой основываются Кибернетические Основания — это введение в формализм математики пользователя математической машины. Это приводит к процессу нового вида, который мы называем метамеханическим. Метамеханический процесс инициируется и поддерживается при взаимодействии механического устройства (такого как машина Тьюринга) и обладателя знанием, т.е. пользователя устройства. Метамеханический процесс протекает в реальном времени, в котором живёт пользователь, в отличие от модельного времени машины Тьюринга или любого другого автономного механического устройства. Класс метамеханических процессов шире, чем класс процессов, которые могут быть сгенерированы автономными механическими устройствами. Множество рассматривается как метамеханический генератор своих элементов.

Математика рассматривается как наука о построении предсказаний для процессов символьных преобразований. Символьные преобразования формализуются как рекурсивные функции, а в качестве механического устройства, шаг за шагом вычисляющего значения рекурсивных функций, выбрана Рефал-машина.

Этот топик посвящён переводу основополагающей для данной теории работы Валентина Фёдоровича "The Cybernetic Foundation of Mathematics", обсуждению и развитию предлагаемых там идей. Все желающие приглашаются к участию. Чтобы не перемежать дискуссию с авторским текстом, предлагается создавать ссылки в соответствующих местах статьи, и вести обсуждение в отдельных топиках.

-- Anton Orlov - 22 Oct 2004

Кибернетические Основания Математики

Валентин Ф. Турчин

Введение

На пороге нашего столетия много говорилось о кризисе в основаниях математики. И хотя убедительных ответов на вопросы, возникающие в связи с этим, не найдено, слово "кризис" в этом контексте больше не употребляется. И это понятно: кризис, который длится уже почти сотню лет, начинает восприниматься как нормальное состояние, а не как кризис. Однако, нормальное состояние не обязательно является удовлетворительным. "Кризис" все ещё присутствует. Ярким подтверждением этому служит великолепное описание "идеального математика" современности, которое Ф. Дэйвис и Р. Херш дают в своей книге "Математический опыт" (The Mathematical Experience). Авторы, сами хорошо известные математики, называют своего героя "идеальным" не потому, что он совершенен в каком-либо смысле, а потому что он является идеальным представителем того типа людей, к которому относится. Он — самый "математический" математик. Его область исследований — неримановы гиперквадраты, и он занимается их изучением со страстной преданностью. Он проводит все время в размышлении о неримановых гиперквадратах. "Его жизнь успешна в той мере, в какой ему удаётся получить о них новые знания".

Есть две стороны кризиса в математике, и они обе отражаются в образе "идеального математика": одна касается природы и самого существования предмета его изучения, а другая — причины, по которой он его изучает. Но давайте обратимся к авторам.

Объекты, которые изучает наш математик, до двадцатого века не были известны. Скорее всего, они не были известны ещё тридцать лет назад. В настоящее время они представляют главный жизненный интерес для нескольких дюжин (максимум, нескольких сотен) его коллег. Однако, он и его коллеги не сомневаются в том, что неримановы гиперквадраты существуют также определённо и объективно, как скала Гибралтар или комета Галлея. На самом деле, доказательство существования неримановых гиперквадратов — одно из их главных достижений, в то время как существование скалы Гибралтар весьма вероятно, но строго не доказано.

...Его убеждение базируется на строгом доказательстве. Он верит, что разница между правильным и неправильным доказательством ясна и бесспорна... И всё же он не может чётко объяснить, что имеется в виду под строгостью доказательства, или что требуется, чтобы сделать доказательство строгим. В его собственной работе курс между завершённым и незавершённым доказательством всегда несколько размыт и часто спорен.

Авторы подводят итог дискуссии о предмете изучения математики следующим образом.

Математики знают, что изучают объективную реальность. Для стороннего же наблюдателя они, вместе с немногочисленной кликой друзей, кажутся членами некого тайного общества. Каким образом мы, как математики, можем убедить скептически настроенного неспециалиста, что наши теоремы имеют значение и вне нашего содружества?

Если такой человек, в согласии с тем, как у нас заведено, будет изучать в течение двух-трёх лет математику в высшем учебном заведении, то он переймёт наш стиль мышления и больше не будет тем критически настроенным неспециалистом, которым когда-то был. Точно так же человек, критикующий саентологию, который несколько лет "обучался" под руководством "признанных авторитетов", может превратиться из её критика в приверженца.

Если студент не сможет перенять наш способ мышления, мы, конечно же, завалим его на экзаменах. Если же он продерётся через наш полный препятствий курс, а затем объявит, что наши аргументы неясны, либо ошибочны, мы выбросим его из головы как фантазёра, чокнутого или неудачника.

Конечно, ничто из этого не доказывает ошибочность нашего ощущения, что нам доступен надёжный метод отыскания объективной истины. Но мы вынуждены признать, что вне нашего тесного круга, многое из того, что мы делаем, необъяснимо. Нет способа заставить самоуверенного скептика поверить в осмысленность обсуждаемых нами вещей, не говоря уже об их "существовании".

Невозможность убедить скептика связана не только со сложностью математических конструкций. Необязательно знать подробности устройства механизма, чтобы понимать, что он делает. Никакой компьютерщик не будет вторить сетованиям математика на непостижимость предмета, хотя сложность больших компьютерных систем, созданных десятками людей, может во много раз превосходить информационное содержание теории "неримановых гиперквадратов" или чего-то вроде этого. Кроме того, подобные жалобы вряд ли могли бы прозвучать до конца девятнадцатого века. Если бы самоуверенный скептик заявил, что он не понимает, что такое числа или геометрические фигуры, то был бы просто послан к черту, и не без оснований.

Я считаю, что математика непонятна для неспециалистов, потому что она непонятна самим математикам, иначе они могли бы объяснить хотя бы ее основы. Но как раз с основами-то и возникает главная трудность. Современная математика базируется на теории множеств, которая имеет дело с сущностями, не поддающимися определению. Тем не менее, у каждого, кто изучает математические объекты, построенные на теоретико-множественной основе, возникает чувство, что он имеет дело с реальными вещами. Парадоксально, но это чувство разделяется также и теми математиками, которые специализируются на самой теории множеств. И есть единственное объяснение этому парадоксу, во всяком случае, другого объяснения сразу не находится. Оно заключается в том, что формализм теории множеств опирается на нечто реальное, вполне постижимое, как и всякая реальность. В то же время современная интерпретация этого формализма, основанная на понятии актуальной бесконечности, не только непонятна, но попросту неверна. Если предположить, что это действительно так, то вполне возможно, что теоретико-множественная интуиция развилась у математиков в соответствии с реальными, а не провозглашаемыми, объектами теории множеств.

Теперь давайте рассмотрим вопрос о непротиворечивости теоретико-множественных оснований математики. Работая с теорией множеств, складывается впечатление, даже возникает уверенность, что она непротиворечива. Но вот это как раз никогда и не было доказано. Это странно, если задуматься. Аксиоматическая теория множеств Цермело-Френкеля строится на одиннадцати аксиомах, в большинстве своём далеко не элементарных или примитивных. Взятые вместе, они составляют ещё менее примитивное целое. Невозможно представить, что наша интуиция способна постичь непротиворечивость этого целого, не опираясь на какие-то простые, примитивные, интуитивно непротиворечивые понятия и истины. Значит, такие простые и интуитивно бесспорные истины должны существовать. Если выявить их и выразить через них аксиомы Цермело-Френкеля, то непротиворечивость теории множеств будет доказана. Однако, благодаря теореме Гёделя, мы знаем, что невозможно доказать непротиворечивость теории множеств методом, формализуемым в ней самой. Следовательно, примитивные понятия и истины, существование которых мы вывели, должны быть очень необычными, странными. Они не должны быть выразимы в теории множеств, в то время как мы привыкли считать, что в теории множеств выразимо всё, что может являться предметом математического исследования. Теория, построенная на этих понятиях, должна быть столь же "странной". На этот случай есть популярное среди физиков высказывание, приписываемое Нильсу Бору, гласящее, что такая теория должна быть "достаточно безумной".

Такая "безумная" теория строится в этой книге. Она полностью принимает формализм теории множеств, но интерпретирует его согласно принципам конструктивизма, используя понятие только потенциальной, а не актуальной бесконечности. Наша теория математики обладает следующими особенностями.

  1. Математика рассматривается как одна из естественных наук. Объекты математического исследования имеют ту же природу, что и в других естественных науках, то есть, представляют собой абстрагированные явления мира, в котором мы живем. Как любая естественная наука, математика работает со своим типом объектов, и это приводит к существенным различиям количественного характера. Однако, природа источника, метод приобретения и достоверность математического знания точно такие же, что и в других естественных науках.
  2. Согласно современной философии науки, значение математического высказывания (как и любого другого) определяется возможностью использовать его в качестве генератора проверяемых предсказаний о процессах реального мира. Если утверждение не может быть проинтерпретировано как генератор предсказаний, то оно бессмысленно, и ему нет места в нашей теории.
  3. Наша теория касается только символьной математики — официального языка всех математиков нашего времени. Мы признаём важность трёхмерной геометрической интуиции, но не делаем попыток проанализировать её роль.
  4. В дополнение к механическим процессам вычисления и доказательства, играющим столь важную роль в современной математике, мы вводим метамеханические процессы, которые не могут быть смоделированы на устройствах типа машины Тьюринга, или определены с помощью рекурсивных функций. Метамеханические процессы отличаются от механических не типом используемых механизмов, а тем, что они контролируются субъектом знания, т.е. его обладателем и получателем. В концептуальном аппарате современной физики невозможность разделить явление и наблюдателя, т.е. объекта и субъекта знания, хорошо известна. Наша теория представляет эту концепцию в математике.
  5. Опираясь на эти понятия, мы пересматриваем фундаментальные аспекты математики, включая формальную логику. Демонстрируется, что есть два способа определить понятие истины в рамках нашего формализма. Один ведёт к интуиционистской логике, другой — к классической логике. Мы увидим, что теорема Гёделя чрезвычайно важна для принятия закона исключённого третьего. Наша теория подчёркивает позитивный аспект теоремы Гёделя.
  6. Мы пересматриваем теорию множеств, и доказываем аксиомы Цермело-Френкеля как теоремы. Никаких специальных усилий, чтобы избежать парадоксов, не требуется. Они просто не возникают — это один из результатов нашего определения интерпретируемого утверждения. Множества рассматриваются как процессы, генерирующие объекты. Метамеханические процессы позволяют описывать не рекурсивно перечислимые и несчётные множества.
  7. Доказывается непротиворечивость теории множеств. Это не противоречит результату Гёделя о невозможности доказать непротиворечивость теории в рамках её самой, потому что наша теория не может быть формализована с помощью теории множеств. Также мы доказываем гипотезу континуума.
  8. Основной, всепронизывающий методологический принцип нашего подхода — это понятие метасистемного перехода? . В качестве технического средства для формализации этой идеи мы используем язык Рефал. Наш формализм задуман таким образом, чтобы математические утверждения записывались не слишком громоздко. Рефал реализован на компьютерах и используется для написания сложных программ символьной обработки. До настоящего времени механизмы, введённые в математику с целью формализации, использовались только для мысленных экспериментов, как теоретические устройства. Одной из наших целей является сокращение разрыва между математикой и информатикой путём такой формализации математики, чтобы механические процессы, используемые в её определениях, могли бы в действительности запускаться на компьютере.

Давайте вернёмся к "идеальному математику" Дэйвиса и Херша. Они дают замечательное описание того, что представляет из себя работа математика. Оно достойно длинной цитаты.

Работа идеального математика понятна только небольшой группе людей, состоящей из нескольких дюжин, максимум, нескольких сотен специалистов. Группа просуществовала всего несколько десятилетий, и вполне может быть, что ещё через несколько десятилетий она исчезнет.

Ему трудно вести осмысленный разговор с представителями той большой части человечества, которая никогда не слышала о неримановых гиперквадратах. И это создаёт для него серьёзные трудности. В его отделе есть двое коллег, которые что-то знают о неримановых гиперквадратах, но один из них в отпуске, а другой больше интересуется неэйлеровыми полукольцами. Чтобы встретиться с людьми, которые говорят на его языке и способны оценить его работу, он ездит на конференции, а летом наносит визиты коллегам. Их признание, одобрение и восхищение — это единственные награды, на которые он может рассчитывать.

На конференциях главная тема обычно звучит как "проблема решения" (или, возможно "проблема построения" или "проблема классификации") задачи о неримановых гиперквадратах. Эта задача впервые была сформулирована профессором Безымянным, основоположником теории неримановых гиперквадратов. Она важна, потому что сам профессор Безымянный поставил её, и предложил частичное решение, которое, к сожалению, никто, кроме него самого, так и не смог понять. Со времён профессора Безымянного все лучшие математики, занимающиеся неримановыми гиперквадратами, работали над этой задачей, получив много частных результатов. Таким образом задача заслужила большое уважение.

Когда идеальный математик разговаривает со своим собратом-гиперквадратистом, он использует неофициальный жаргон, но стиль языка его публикаций совершенно другой.

...Там он нагромождает формализм на формализм. За тремя страницами определений следуют семь лемм и, наконец, теорема, формулировка которой занимает половину страницы, а доказательство сводится, по-существу, к фразе: "Применим леммы 1-7 к определениям A-H".

Своим стилем изложения он, следуя укоренившейся традиции, стремится скрыть, что автор или предполагаемый читатель являются людьми. Это создает впечатление, что желаемые результаты неминуемо следуют из сформулированных определений чисто механическим путём. Но на самом-то деле, нет на свете вычислительной машины, способной принимать на вход его определения. Чтобы понять его доказательства, необходимо иметь в виду целую субкультуру обоснований, стандартных доводов и примеров, мыслительных привычек и принятых методов рассуждения. Если (не дай бог) братство занимающихся неримановыми гиперквадратами прекратит своё существование, то работы нашего героя будет ещё сложнее расшифровать, чем произведения Майя.

Далее следует серия диалогов между идеальным математиком (ИМ) и представителями разных профессий. Сотрудник информационной службы (СИС) университета спрашивает его о том, какое практическое значение могут иметь его исследования. Приведём ответ математика и часть последовавшего диалога.

ИМ: Я слышал, что предпринимались попытки использовать неримановы гиперквадраты как модели элементарных частиц в ядерной физике. Я не знаю, достигнуты ли какие-либо результаты.

...

СИС: Есть ли на Ваш взгляд какие-то пути развития работ в Вашей области, ведущие к результатам, понятным обыкновенному гражданину нашей страны?

ИМ: Нет.

СИС: А инженерам и учёным?

ИМ: Очень сильно сомневаюсь.

СИС: Будет ли большинство занимающихся чистой математикой заинтересовано в вашей работе, либо ознакомится с ней?

ИМ: Нет, таковых будет очень мало.

Этого достаточно. Посвятить свою жизнь неримановым гиперквадратам только потому, что профессор Безымянный определил понятие и доказал теорему, которую никто, кроме него не может понять — не самая радужная перспектива для молодого человека. При всей красоте и глубине современной математики, описание идеального математика наводит тоску. Такое ощущение, что в математике кое-чего не хватает: вершины в иерархии целей. Математика лишена общей стратегии, такой, какую ясно видно в физике, биологии, информатике. Нет подхода или концепции, которая не только определила бы место математики в современном мире — место, обеспеченное достижениями наших предшественников — но и указала бы, куда и как нам двигаться дальше. "Идеальный математик" напоминает одного из слабых отпрысков когда-то сильного семейства — с богатым наследием, но бедного духом, и полностью поглощённого незначительными домашними делами.

Я уверен, что эта ситуация является прямым следствием кризиса в основаниях. В самом деле, какая может быть надежда на понимание того, как развивать математику, если уже сотню лет не ясно, о чём она? И наоборот, можно надеяться, что новый подход к основаниям укажет по крайней мере какие-то новые пути к пониманию того, что в математике важно, а что незначительно.

Другие науки, особенно физика, зависят от математических моделей, на основании которых они строят свои модели реальности. Квантовая механика появилась на свет благодаря тому, что физики разглядели в некоторых математических структурах, созданных ранее и для других целей, свойства, которые можно было использовать для описания наблюдаемых фактов. Это может служить аргументом в пользу "зоологической математики", т.е. изучения всех видов математических созданий, в надежде, что они окажутся полезными. Но если вспомнить про огромный, потенциально бесконечный мир этой "фауны", то без какого-либо руководящего принципа, без теории о том, как создавать полезные структуры, такая надежда будет весьма и весьма пизрачной. Однако подобная руководящая теория предполагает наличие убедительной теории математики.

Согласно современной формалистической философии, математика — это язык без семантики. Такая философия сводит всю математику к аксиоматическому методу. Вы даете мне аксиомы, говорит математик, и я вывожу из них всё, что могу. Я не знаю и не хочу знать, что значат ваши аксиомы. Для меня они ничего не значат — это просто формальные объекты, которыми я манипулирую.

Дэйвис и Херш выражают сильное недовольство формалистической философией математики, потому что она противоречит вере математика в объективное существование объектов, с которыми он работает, и, тем самым, ухудшает понимание этих объектов, если вовсе не искажает его. Мне кажется, что даже если кто-то из математиков и возмутится по поводу портрета их "идеального" коллеги, общая позиция касательно современного состояния математики, выраженная Дэйвисом и Хершем, будет разделяться всё большим количеством людей. Вот почему мне показалось важным обсудить "идеального математика" так подробно.

Аксиоматический метод — великое изобретение, но это ещё не всё. Более того, в текущей ситуации это, вероятно, не самая важная вещь. Аксиоматический метод хорош для всестороннего изучения заданного математического объекта. Но сейчас вопрос стоит следущим образом: какие математические объекты нам нужны? Наиболее важная и творческая часть работы, нужная сегодня естественным наукам, например, физике, находится в подвешенном состоянии между физиками и математиками. Теории, которые мы создаем, базируются на наших интуитивных представлениях относительно изучаемого явления, воплощённых в формальных математических моделях. Но очень часто у нас нет или недостаточно подходящих интуитивных понятий для построения математической модели. Это может происходить из-за того, что наши представления о явлении слишком отрывочны. Тогда модели, основанные на них, оказываются слишком сложными и мало что проясняющими. Это обычное дело в биологии и общественных науках. Или у нас просто может не быть подходящих понятий для описания явления. Такое происходит в физике элементарных частиц, где наша макроскопическая интуиция больше вводит в заблуждение, чем помогает. Но кто введёт формальные объекты и, затем, сформулирует аксиомы об этих объектах? Если просто задать аксиомы, действительно ли математик сможет работать с ними, не понимая их значения, и опираясь только на формальные правила вывода? Это более чем сомнительно, особенно если учесть столь ограниченные, если не сказать жалкие, успехи в области автоматического доказательства теорем, достигнутые на данный момент.

Наш подход к математике — семантический. Мы трактуем язык математики как имеющий ясное, точное и однозначно определяемое значение и описывающий реально наблюдаемые явления. Понятие процесса, на которое опирается наша семантика, объединяет математику и естественные науки, потому что оно применимо как к лингвистическим процессам математики, так и к природным явлениям. Поэтому я надеюсь, что наша теория поможет найти новые подходы к решению наиболее общей и важной проблемы современной науки: как создавать математические структуры, необходимые для построения успешных теорий, описывающих явления природы? Что нам нужно — это метатеория? научных теорий.

Что же до внутренних нужд математики и информатики, то из нашей теории следует вполне определённая программа, которая коротко обозначена в части 7. В соответствии с нашим философским подходом, математика и информатика имеют одно и то же концептуальное основание, тогда как в настоящее время основания математики и информатики разделены широкой пропастью. Теория, которая по-существу объединяет их в одну научную дисциплину, должна быть полезна им обеим.

Show attachmentsHide attachments
Topic attachments
I Attachment Action Size Date Who Comment
elsedjvu Metamathematics.Turchin.-.The.Cybernetic.Foundation.of.Mathematics.1983.djvu manage 4052.7 K 22 Oct 2004 - 20:16 OrloV Оригинальная версия препринта (на английском)
Edit | WYSIWYG | Attach | Printable | Raw View | Backlinks: Web, All Webs | History: r30 < r29 < r28 < r27 < r26 | More topic actions
 
R+

This site is powered by the TWiki collaboration platformCopyright © by the contributing authors. All material on this collaboration platform is the property of the contributing authors.
Ideas, requests, problems regarding TWiki? Send feedback